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[线代]求2次型的对称阵 f=(x1)^2 +3(x2)^2+5(x3)^2+4x1x2-8x1x3 请详细点，谢谢 休 闲 居 编 辑 >>>>>>>>休闲养生网回答： 定义：设有实二次型，如果对于任意一组不全为零的实数，都有f(x)＞0，则称此二次型为正定二次型，并把其对称矩阵A称为正定矩阵. 正定二次型的判别方法: a）：二次型标准形中n个系数都大于零，则其为正定； b）：二次型的对称矩阵A的n个特征值大于零，则其为正定； c）：对称矩阵A的各阶顺序主子式全大于零，则其为正定. 注：设A为n阶方阵，则位于A的左上角的1阶，2阶，...，n阶子式， 即：称为A的各阶顺序主子式. 例1：判别二次型的正定性. 解：方法一：利用二次型的对称矩阵的特征值来判断. 先写出二次型的矩阵: 由于: 可得其全部特征值:＞0,＞0,＞0 故此二次型为正定二次型. 方法二：利用二次矩阵的各阶顺序主子式来判定. 由于此二次型的矩阵为: 因为它的个阶顺序主子式:＞0,＞0,＞0 故此二次型为正定二次型. 除了正定二次型外，还有其他类型的二次型。 定义：设有实二次型，如果对于任意一组不全为零的实数，都有f(x)＜0，则称此二次型为负定二次型，对称矩阵A称为负定矩阵；如果都有f(x)≥0，则称此二次型为半正定二次型，并称其矩阵为半正定矩阵；如果都有f(x)≤0，则称此二次型为半负定二次型，并称其矩阵为半负定矩阵。 |